Robot Planar 2R — Relació entre determinants de \(J\) i \(J^T\)
1. Expressions del jacobià
Definim el jacobià:
\[
J = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\]
On en el robot 2R:
\[
\begin{align*}
a &= -a_1\sin q_1 - a_2\sin(q_1 + q_2) \\
b &= -a_2\sin(q_1 + q_2) \\
c &= a_1\cos q_1 + a_2\cos(q_1 + q_2) \\
d &= a_2\cos(q_1 + q_2)
\end{align*}
\]
El determinant del jacobià és:
\[
\det(J) = ad - bc
\]
2. Transposada del jacobià
La transposada de \(J\) és:
\[
J^T = \begin{bmatrix}
a & c \\
b & d
\end{bmatrix}
\]
El determinant és:
\[
\det(J^T) = ad - bc
\]
És exactament la mateixa expressió!
3. Arrel quadrada del producte dels determinants
En general, per a qualsevol matriu 2×2:
\[
\sqrt{|\det(J) \cdot \det(J^T)|} = |\det(J)|
\]
Ja que \(\det(J^T) = \det(J)\), així que
\[
|\det(J)| = |\det(J^T)|
\]
4. Aplicació al robot planar 2R
Substituïm el resultat geomètric trobat abans:
\[
\det(J) = a_1 a_2 \sin(q_2)
\]
\[
\det(J^T) = a_1 a_2 \sin(q_2)
\]
Per tant,
\[
|\det(J)| = |\det(J^T)| = |a_1 a_2 \sin(q_2)|
\]
I també:
\[
\sqrt{|\det(J)\det(J^T)|} = \sqrt{|a_1 a_2 \sin(q_2)|^2} = |a_1 a_2 \sin(q_2)|
\]
Conclusió didàctica
El determinant d’una matriu 2×2 i la seva transposada sempre són iguals. Això implica que per a robots planars 2R, el valor de destresa calculat amb el jacobià o la transposada, o mitjançant la seva arrel quadrada, dóna exactament el mateix resultat:
\(|a_1 a_2 \sin(q_2)|\)